*** Losange d'aire maximale

On considère un losange de côté de mesure \(1.\)

Partie A : conjecture

À l'aide du fichier de géométrie dynamique suivant, identifier le losange qui semble avoir l'aire la plus grande.

Partie B : démonstration

Soit \(2a\) la mesure d'une diagonale du losange avec \(0<2a<2\).

1. Démontrer que la mesure de l'autre diagonale est \(2\sqrt{1-a^2}\).
2. Démontrer que l'aire du losange en fonction de \(a\) est \(2a\sqrt{1-a^2}\).

Soit \(\mathcal A\) la fonction qui, à tout réel \(a\) de l'intervalle \(]0~;1[\), associe l'aire du losange de côté de mesure \(a.\) Ainsi, pour tout \(a\) de \(]0~;1[\), \(\mathcal A(a)=2a\sqrt{1-a^2}\).
La fonction \(\mathcal A\) est dérivable sur \(]0~;1[\) et, pour tout \(a\) de \(]0~;1[\), \(\mathcal A'(a)=\dfrac{2(1-\sqrt{2}a)(1+\sqrt{2}a)}{\sqrt{1-a^2}}\).
3. Justifier que \(\mathcal A'(a)\) est du même signe que \((1-\sqrt{2}a)\) sur \(]0~;1[\).
4. Dresser le tableau de signes de \(\mathcal A'\).
5. En déduire que \(\mathcal A\) admet un maximum sur \(]0~;1[\) pour \(a=\dfrac{1}{\sqrt 2}\).

Partie C : interprétation

L'énoncé suivant est une adaptation du célèbre théorème isopérimétrique dans le cadre des polygones.

Théorème 

Parmi tous les polygones à \(n\) côtés de périmètre \(p\), le polygone régulier à \(n\) côtés de périmètre \(p\) est celui d'aire maximale.

1. Démontrer que, parmi tous les losanges de côté \(1\), le carré de côté \(1\) est celui d'aire maximale.
2. Le théorème permet de généraliser la réponse à la question 1. En effet, il dit que le carré est le quadrilatère d'aire maximale parmi tous les quadrilatères de périmètre donné. Démontrer que c'est bien le cas pour les rectangles de périmètre donné.